Аннотация
Данная научная работа включает в себя тему «Фигурные числа в жизни человека» в рамках изучения предмета-математика. В ходе исследования удалось выяснить много интересного о возникновении фигурных чисел и применении в повседневной жизни человека. В данной работе была достигнута цель исследования, а именно, изучить и исследовать понятие фигурного числа, процесс закономерности построения этих чисел, выявить их роль в нашей жизни.
Научная работа поможет сформировать осознанное отношение школьника к изучению предмета, создать личностную мотивацию к изучению математики, развеять мнение о математике как науке сухой и мертвой. Поэтому в настоящее время необходимо уделять формированию познавательного интереса к математике и что математика является частью общечеловеческой культуры.
Введение
«ВЫСШАЯ МУДРОСТЬ-ЭТО НАУКА О ЧИСЛЕ»
Платон
С начальных классов я знала числа, которые были двузначными, трехзначными, четырехзначными и т.д. Знала, на какие разряды и классы делятся числа. Например, есть класс единиц, класс тысяч, класс миллионов, класс миллиардов и еще некоторое количество классов. В 5 классе я узнала новое: числа еще бывают натуральными, дробными, смешанными. Узнала несколько свойств чисел. Тут мне стало интересно: «А может, существуют еще какие-либо числа, которые я смогу найти в дополнительных источниках?». Я долго искала информацию: смотрела и читала энциклопедии, различные книги и журналы, искала информацию в сети Интернет и очень много нового узнала. Через некоторое время я нашла числа, которые назывались фигурными числами. В своей исследовательской работе я рассмотрела использование фигурных чисел не только в математике, но и в окружающей жизни, просто люди не задумываются об этом. Всего 34% учащихся знают какие числа называются фигурными.18,5% считают,что фигурные числа-это плоские фигуры,33%-объемные фигуры,45% думают,что они могут изображаться и плоскими и объемными фигурами.,46,5% предполагают,что эти числа изобрел Пифагор.Половина опрошенных считает,что мы ежедневно встречаемся с фигурными числами в повседневной жизни.
Объект исследования: фигурные числа.
Предмет исследования: использование фигурных чисел в математике и в повседневной жизни.
Цель работы: более глубоко изучить и исследовать одно из понятий математики-фигурное число, изучить процесс закономерности построения плоских фигурных, пространственных фигурных чисел, выявить их роль в нашей жизни.
Задачи:
1. Собрать по различным научным и учебным источникам материал по данной проблеме и проанализировать его.
2. Рассмотреть историю возникновения фигурных чисел, их применение в жизни человека.
3. Изучить классы фигурных чисел; формулы, по которым задаются плоские фигурные числа.
Когда я впервые прочитала о существовании фигурных чисел, задумалась: «Почему числа фигурные?». Наверное, эти числа как-то связаны с фигурами?
Методы исследования:
Поисковый метод: использование научной и учебной литературы, поиск необходимой информации в сети Интернет;
Практический метод: выполнение построений фигурных чисел; поиск фигурных чисел вокруг нас, т.е. в повседневной жизни;опрос обучающихся по этой теме.
Основная часть
1.1 Из истории фигурных чисел.
Давным - давно, помогая себе при счете камушками, люди обращали внимание на правильные фигуры, которые можно выложить из камушков. Можно просто класть камушки в ряд: один, два, три. Если класть их в два ряда, чтобы получались прямоугольники, мы обнаружим, что получаются все четные числа. Можно выкладывать камни в три ряда: получатся числа, делящиеся на три. Всякое число, которое на что-нибудь делится, можно представить таким прямоугольником, и только простые числа не могут быть «прямоугольными».
А что , если складывать треугольник? Треугольник получается из трех камешков: два в нижнем ряду, один в верхнем: в ложбинке, образованной двумя нижними камнями. Если добавить камень в нижний ряд, появится еще одна ложбинка, заполнив ее, мы получим ложбинку, образованную двумя камешками второго ряда; положив в нее камень ,мы наконец получим треугольник. Итак, нам пришлось добавить три камешка. Следующий треугольник получится, если добавить четыре камешка. Выходит, что на каждом шаге мы добавляем столько камней, сколько их становится в нижнем ряду. Если теперь считать, что один камень-это тоже треугольник, самый маленький, у нас получится такая последовательность чисел: 1, 1+2=3, 1+2+3=6, 1+2+3+4=10, 1+2+3+4+5=15, и т.д.
Фигурные числа были известны еще в глубокой древности. Предполагают, что впервые они появились в школе Пифагора. Числа древними греками, а вместе с ним Пифагором и пифагорейцами мыслились зримо, в виде камешков, расположенных на песке или на счетной доске-абаке. По этой причине греки не знали нуля ,т.к. его невозможно было «увидеть». Но и единица еще не была полноправным числом, а представлялась как некий «числовой атом», из которого образовывались все числа. Пифагорейцы называли единицу «границей между числом и частями», т.е. между целыми числами и дробями, но в то же время видели в ней «семя и вечный корень». Число же определялось как множество, составленное из единиц. Особое положение единицы как «числового атома», роднило ее с точкой, считавшейся «геометрическим атомом». Вот почему Аристотель писал: «Точка как единица, имеющая положение, единица есть точка без положения». Таким образом, пифагорейские числа в современной терминологии-это натуральные числа.
Числа-камешки раскладывались в виде правильных геометрических фигур. Эти фигуры классифицировались. Так возникли числа, сегодня именуемые фигурными. Счет на камушках оставил глубокий след в истории математики. Древние греки, когда им приходилось умножать числа, рисовали прямоугольники; результатом умножения пяти на семь был прямоугольник со сторонами пять и семь. Это развитие счета на камушках. Множество закономерностей, возникающих при действиях с числами, были обнаружены древнегреческими учеными при изучении чертежей. И долгие века лучшим подтверждением справедливости таких соотношений считался геометрический способ, с прямоугольниками, квадратами, пирамидами и кубами. В 5-4 веках до нашей эры ученые, комбинируя натуральные числа, составляли из них затейливые ряды, придавая элементам этих рядов то или иное геометрическое истолкование.
1.2. Определение и виды фигурных чисел.
Фигурные числа-общее название чисел, связанных с той или иной геометрической фигурой. Различают следующие виды чисел: Линейные числа (т.е. простые числа)-числа, которые делятся только на единицу и на самих себя и ,следовательно, представимы в виде последовательности точек, выстроенных в линию. (Приложение1) Плоские числа-числа, представимые в виде произведения двух сомножителей.(плоское число 6=2 3). (Приложение2.) Телесные числа-числа, выражаемые произведением трех сомножителей.(телесное число 8=2 2 ). (Приложение3.)
Треугольные числа (3,6,10). (Приложение4.)
Квадратные числа (4,9,16). (Приложение5.)
Пятиугольные числа (5,12,22). (Приложение6.)
Очень интересны кубические числа, возникающие при складывании кубиков: 1,2*2*2=8, (два этажа из квадратов 2*2). 3*3*3=27 (три этажа из квадратов 3*3). 4*4*4=64 (четыре этажа из квадратов 4*4),5*5*5=125,6*6*6=216,7*7*7=343,8*8*8=512,9*9*9=729,10*10*10=1000 и т. д.
Теперь понятно, почему про такие числа говорят: «два в кубе», «три в кубе», «десять в кубе»? Кубические числа. Пирамидальные числа возникают при складывании круглых камешков горкой так, чтобы они не раскатывались. Получается пирамида. Каждый слой в такой пирамиде- треугольное число. Наверху один камушек, под ним-3,под теми-6 и т.д.:1,1+3=4, 1+3+6=10, 1+3+6+10=20,…(Приложение 7) Фигурное представление чисел помогало пифагорейцам открывать законы арифметических операций, а также легко переходить к числовой характеристике геометрических объектов-измерению площадей и объемов.Так, представляя число 10 в двух формах:5*2=2*5,легко «увидеть» переместительный закон умножения: a*b=b*a.
В том же числе 10:(2+3) 2= можно «разглядеть» и распределительный закон сложения относительно умножения : .
Наконец, если «камешки», образующие фигурные числа, мыслить в виде равных по площади квадратиков, то, укладывая их в прямоугольное число ab : автоматически получаем формулу для вычисления площади
прямоугольника: S=ab.
Представление чисел в виде правильных геометрических фигур помогало пифагорейцам находить различные числовые закономерности. Например, чтобы получить общее выражение для n-угольного треугольного числа, которое есть не что иное, как сумма n натуральных чисел 1+2+3+…+n, достаточно дополнить это число до прямоугольного числа n(n+1) и увидеть (именно глазами!) равенства, которые получаются, если шарики складывать пирамидой, как раньше складывали ядра около пушки. (Приложение 8)
Нетрудно заметить, что пирамидальное число равно сумме всех треугольных чисел-от первого до n–го. Написав последовательность квадратных чисел, опять легко увидеть глазами выражение для суммы n нечетных чисел 1+3+5+…+(2n - 1)= .
Разбивая n –е пятиугольное число на три (n-1) треугольных,(после чего остается еще n камешков), легко найти его общее выражение 1+4+7+…+3n-2=n+3
1.3.Применение фигурных чисел в жизни человека
Мы не задумываемся о том, что ежедневно встречаемся с фигурными числами. А ведь это просто и интересно.
- При изучении формулы площади прямоугольника используется понятие плоского числа, которое представляется в виде произведения двух сомножителей- длины и ширины.
- При вычислении объема прямоугольного параллелепипеда применяется понятие телесного числа, выражаемого произведением трех сомножителей-длины , ширины и высоты.
- Упаковка конфет в форме линейного числа. (Приложение 9.)
- На параде солдаты стоят правильными рядами, образуя квадраты или прямоугольники (плоские числа). (Приложение10)
- Во время различных праздников мы видим показательные выступления летчиков. Самолеты в воздухе образуют треугольные или другие фигурные числа.(Приложение11).
- Треугольные числа можно встретить в самых обычных местах.
Фигурные числа встречаются при упаковке различных товаров в коробки и
другие емкости.
- Телесные числа используются при упаковке конфет, консервных банок, блокнотов, тетрадей, ручек и др. в различные емкости.
- Плоские числа тоже часто используются при упаковке конфет, растительного масла, лимонадных бутылок…
- К фигурным числам можно отнести пирамидальные числа ,которые получаются, если шарики складывать пирамидкой. Как раньше складывались ядра около пушки. Приложение12.
- Используя различные фигурные числа как телесные, так и пирамидальные, укладывают товар на прилавке, конфеты в различные упаковки, украшают праздничный стол. Приложение13.
Заключение
Числа-камушки раскладывались в виде правильных геометрических фигур, эти фигуры классифицировались. Так возникли числа, сегодня именуемые фигурными.
Итак, фигурные числа-общее в каждом классе название чисел, геометрическое представление которых связано с той или иной геометрической фигурой.
Не только фигурные числа нужны нам для вычисления, но и те числа, которые входят в нашу повседневную жизнь. Числа мы используем в годе нашего рождения, говорим, сколько лет прошло, в каком классе мы учимся или же какова температура в доме. Мы можем посчитать животных или сколько шагов от дома до школы.
Таким образом, числа присутствуют везде, независимо от того, в чем их различие. С числами и другими величинами измерения связана наша повседневная жизнь.
В процессе работы по данной проблеме я добилась цели, поставленной в начале исследования: изучила и исследовала фигурные числа- одно из понятий математики. Но эту работу можно еще и продолжить, т.к. существует еще множество пространственных фигурных чисел, из которых можно выделить целые классы. Подводя итог работы, пришла к выводу об актуальности данной темы. Невозможно представить современную жизнь без фигурных чисел, они вокруг нас, мы живем среди них, они нам нужны. Каждый из вас может попробовать выложить фигурные числа домашних условиях. Для этого вы можете взять теннисные шарики, горох, кнопки, пуговицы или например, вишню. А можно просто рисовать на бумаге.
Итак, работая по данной теме, я пришла к следующим выводам:
Фигурные числа действительно существуют, они выкладываются в виде геометрических фигур;
Выделяются несколько видов данных чисел;
Фигурное представление чисел помогло «открыть» ряд математических законов. Фигурные числа - это интересно!
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ:
- Виленкин Н.Я. Математика 6 класс,учебник для общеоразовательных учреждений.
- -М.:Мнемозина,2008.
- Волошинов А.В.Пифагор: Союз истины,добра и красоты.
- М.:Просвещение,1993.
- Энциклопедический словарь юного математика/Составитель А.П.Савин.
- -М.:Педагогика,1985
