Тригонометриялық теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу жолдары.
1. Тригонометриялық теңдеулер мен теңсіздіктер.
Тригонометриялық теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу теңдеулер мен теңсіздіктердің басқа түрлерін шешуден бірінші кезекте оларды шешу нәтижесінде шешімдердің ақырсыз сериясын алуымызбен ерекшеленеді. Сондықтан осы теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу нәтижелерін келтірумен шектелеміз. Негізгі тригонометриялық теңдеулер мыналар:
1) sin x =. Егер ׀а׀›1болса, онда теңдеудің шешімдері жоқ.
Егер функциялардың графиктерін пайдалансақ, онда берілген теңдеудің шешуін көрнекі түрде аламыз. Sin x = теңдеуін графиктік шешуді у =in x пен у= функциялары графиктерінің қиылысу нүктелерінің абсциссаларын табу ретінде қарастыруға болады. Дәл осы теңдеуді графиктік әдіспен басқаша, тригонометриялық деп аталатын шеңберде, шешуге болады. Ол үшін радиусы бірге тең шеңбер сызамызда, оның центрі арқылы өзара перпендикуляр екі координаталар осьтерін жүргіземіз. Сондықтан біз жоғарыда келтірілген шешімдердің екі сериясын аламыз.
2)Сos x =. Егер ׀а׀›1 болса, теңдеудің шешімдері жоқ. К€ z формуласымен анықталатын айнымалының мәндерінің екі ақырсыз жиыны болады.
3) tg x =. Кез келген а үшін оның шешімдері К€ z формуласымен беріледі.
4) ctg =.Кез келген а үшін оның шешімдері К€ z формуласымен беріледі.
Негізгі емес тригонометриялық теңдеулерді немесе теңсіздіктерді шешу бір немесе бірнеш негізгі тригонометриялық теңдеулерді немесе теңсіздіктерді шешуге келтіріледі. Негізгі емес теңдеулер мен теңсіздіктерді негізгілерге келтіру процесі тригонометриялық функцияларды тепе-тең түрлендірулердің формулалары арқылы әр түрлі түрлендірулердің көмегімен , сондай-ақ айнымалыларды ауыстырудың және көбейткіштерге жіктеудің көмегімен жүргізіледі.
Осы теңсіздіктерді шешуде У өсінен нүктесінен басымызды оңға және солға бұру арқылы шеңбермен қиылысу нүктесін табамыз. Егер теңсіздік кем болса, онда сол табылған нүктелерден төмен орналасқан доға аралығы болады (мыс: 1-сурет). Шеңбер бойынан бірінші нүктесін тапқаннан соң, екінші нүктесін жазу үшін сағат тілімен бағыттас жүреміз. Сағат тілімен бағыттас айналдыратын болсақ, (2-сурет) онда шеңбер бойындағы нүктелер қарама-қарсы таңбамен I ширектегі нүктелер IV ширекке, II ширектегі нүктелер III ширекке, III ширектегі нүктелер II ширекке орналасады. Сонда болады.
1-сурет 2-сурет
Ал егер артық болса, У өсінің нүктесінен басымызды оңға бұрып шеңбермен қиылысқан бірінші нүктесін тапқаннан соң, сағат тіліне қарсы бағытта жүріп,
нүктесінің сол жағында жатқан, ( нүктесіне қарағанда симметриялы) шеңбермен қиылысқан екінші нүктесін жазамыз. Осы табылған нүктелерден жоғары орналасқан доға аралығы болады (3-сурет). Нүктелердің табылу жолдары “Бірлік шеңбер” тақырыбында айтылып кеткен.
3-сурет 4-сурет
Бұл теңсіздіктерді шешуде Х өсінің нүктесінен басымызды жоғары көтеру және төмен түсіру арқылы, шеңбер бойымен қиылысқан нүктелерді табамыз. Егер теңсіздік кем болса, онда шеңбермен қиылысқан нүктелермен керіліп тұрған доғаның сол жақ бөлігі, мысалы: ; болса (4-сурет) болады. Ал егер артық болса, онда Х өсінің нүктесінің оң жақ бөлігі. Басымызды жоғары көтеріп шеңбер бойынан бірінші нүктені тапқан соң, сағат тілімен бағыттас жүре отырып, нүктесінен басымызды төмен түсіргендегі шеңбермен екінші қиылысу нүктесін жазамыз. Осы нүктелермен керіліп тұрған доғалардың оң жақ бөлігі аралығы (5-сурет) болады.
5-сурет 6-сурет
Бұл теңсіздіктерді шешуде шеңбер бойында аралығында қарастырамыз. нүкте шеңбер бойында орналасады деп ойлаймыз. Егер теңсіздік кем болса, онда нүктесінен төмен орналасқан доға, яғни аралығы болады. Мысалы: нүктені шеңбер бойына белгілесек, нүктеден төмен орналасқан доға аралығы болады, яғни екен (6-сурет).
Егер теңсіздік артық болса, шеңбердегі нүктесінің жоғарғы бөлігі, аралығы болады
Енді қарастырайық, 7-суретте көріп тұрғандай нүктесінен жоғары аралығы екен.
7-сурет 8-сурет
Бұл теңсіздіктерді шешуде шеңбер бойында аралығында қарастырамыз .Мысалы: болса, 8-суретте көріп тұрғандай аралығы болады. Ендеше теңсіздік кем болса, онда бірлік шеңбер бойындағы ізделінді нүктесінен сол жағында орналасқан доға аралығы болады. Теңсіздік артық болса, шеңбер бойындағы ізделінді нүктесінен оң жағында орналасқан доға аралығы болады.
Мысалы болса, онда аралығы (9-сурет) болады.
9-сурет 10-сурет
Теңсіздіктердің жауабы сағат тіліне қарсы бағытта жазылады.
Осы әдістерді пайдаланып Ұлттық Бірыңғай Тест есептерінің шығару жолдарын ұсынып отырмын.
№298 Теңсіздіктер жүйесін шешіңіз.
Теңсіздіктерді қанағаттандыратын х-тің мәндерін шеңбер бойына салайық
Бірінші теңсіздіктің жауабын у=0; түзуінің жоғарғы жағын тігінен қызыл сызықтармен, екінші теңсіздіктің жауабын х=0 түзуінің оң жағын көлденеңнен көк сызықтармен белгілейміз. Нәтижесінде шыққан денелер жүйенің шешімі болып табылады.
Периодтарын қосамыз..
Жауабы 10-сурет
Сағат тіліне қарсы бағытта жазамыз
№301 Теңсіздіктер жүйесін шешіңіз.
Теңсіздіктерді қанағаттандыратын
х-тің мәніндерін шеңбер бойына салайық 11-сурет
Синустің жауабы y= түзуінің жоғарғы жағын тігінен қызыл, косинустың жауабы түзуінің оң жағын көк сызықтармен белгілейміз. Шыққан фигуралар аралықтары жүйенің шешімі болады.
Жауабы: 11-сурет
№302 Теңсіздіктер жүйесін шешіңіз.
Теңсіздіктерді қанағаттандыратын
х-тің мәніндерін шеңбер бойына салайық,
синустың жауабын х-өсініңжоғарғы жақ
аралығы (қызыл), тангенстің жауабын көк
сызықтармен белгілесек, нәтижесінде шыққан
фигуралар теңсіздіктердің жауабы болады. 12-сурет
Жауабы: 12-сурет
№303 Теңсіздіктер жүйесін шешіңіз.
Теңсіздіктерді қанағаттандыратын
х-тің мәніндерін шеңбер бойына салайық
тангенстің жауабы 00пен 900 аралығы
яғни көлденең көк сызықпен, синус
0-ден артық болғандықтан Х-өсінің
жоғарғы жақ аралығы (қызыл) болады
Ендеше шыққан денелер жүйенің шешімдері.
периодын қосамыз 13-сурет
Жауабы: 13 –сурет , .
Пайданаланылған әдебиеттер:
(10-сынып) және Ұлттық Бірыңғай Тест жинағы.
“Бірлік шеңбер негізінде тригонометриялық теңсіздіктерді шешу ”
” №4 2011 “Математика және физика” ғылыми- әдістемелік журналы.
