Summary
Among the private operators, one can single out nuclear differential operators. Nuclear properties by operators fall near their finite operators. This is the rate of decrease of their eigenvalues (properties of the inverse operator), the data on allows you to get.
Резюме
Из числа частных операторов, можно выделить ядерные дифференциальные операторы. Ядерные свойства по операторам приходится около своих конечных операторов. Это скорость убывания их собственных значений (свойства обратного оператора), данные о позволяет получить.
Бұл жұмыс Тараз мемлекеттік педагогикалық институтының, математика кафедрасының профессоры М.Б.Мұратбеков ағайдың жетекшілігімен жазыған зерттеу болатын.
Дифференциалды операторлар қатарынан ядролы операторларды жеке бөліп айтуға болады. Ядролы операторлар өз қасиеттері бойынша ақырлы операторларға жуық келеді. Бұл олардың меншікті мәндерінің кему жылдамдығы (кері оператордың қасиеттері) туралы мәліметтер алуға мүмкіндік береді.
Бұл жұмыста дифференциалды операторының кері операторы ядролы екендігі туралы теорема дәлелденді. Яғни,
(1)
(2)
есебіндегі операторына кері операторының ядролығы дәлелденеді.
Негізгі нәтижені келтірмес бұрын дәлелдеуге қажетті түсініктер мен көмекші фактілерге шолу жасаймыз.
Анықтама 1. Егер үшін тізбегінің құрамында жинақты ішкі тізбек бар болса онда операторы жете үзіліссіз деп аталады.
Анықтама 2. Егер функциясы үшін шарты орындалса, онда сызықты шенелген операторы теріс емес деп аталады, және белгіленеді.
Айталық кез келген шенелген оператор болсын, онда Себебі:
Жете үзіліссіз сызықты кез келген операторы үшін операторын төмендегідей анықтаймыз: .
Анықтама 3. операторының меншікті мәндері операторының -сандары (Шмид бойынша меншікті мәндері) деп аталады.
Нөлден өзгеше -сандарының еселіктерін ескеріп кему ретімен нөмірлейміз, яғни . Мұндағы -сандары оң және нақты сандар.
Анықтама 4. Егер компактілі операторы
шартты қанағаттандырса, онда операторы ядролы оператор деп аталады.
Айталық -банах кеңістіктері кеңістігі кеңістігіне енгізілген және жиыны кеңістігіндегі бірлік шар болсын.
Анықтама 5. жиыны кеңістігінің метрикасында мүмкін болатын өлшемі сызықты көпбейнелерінен ауытқуларының төменгі шені -дің -ге енуінің Колмогоров көлденеңдері деп аталады, яғни анықтама бойынша
мұндағы мүмкін болатын сызықты көпбейнелер жиынтығы. мұндағы енгізу оераторы.
Тікелей анықтамадан шығатын көлденеңдердің төмендегідей қасиеттері бар:
1.
2.
3. мұндағы
Колмогоров көлденеңдерінің екінші анықтамасы іспеттес келесі теорема орынды болады.
Теорема 1. Айталық қандай да бір жете үзіліссіз оператор, онда саны жиынының -шы Колмогоров көлденеңімен сәйкес келеді, яғни .
Мұндағы бірлік шар.
Колмогоров көлденеңдерінің бұл келтірілген анықтамасы көптеген жағдайларда біріншіге қарағанда ұтымды болады.
Келесі функцияны енгізейік:
-дан үлкен көлденеңдердің саны.
Бұл функция көлденеңдерді тарату функциясы немесе санаушы функция деп аталады. -шы көлденеңдермен оларды тарату функциясының арасында мынандай байланыс бар .
Соңғы теңдік көлденеңдерді бағалау үшін олардың тарату функцияларын бағалауға болатынын білдіреді.
Бұл жұмыстың негізгі нәтижесін келтірейік.
Теорема. Айталық және аралығында үзіліссіз функция болсын, онда операторы ядролы болады.
Теореманың дәлелденуі төмендегі көмекші тұжырымдарға сүйенеді.
Лемма 1. Айталық теореманың 2- шарттары орындалсын, онда
(3)
теңдігі орынды болады.
Дәлелдеуі: функциясының үзіліссіздігін және
теңсіздігін пайдаланып мынандай теңсіздік жазамыз
Сондай-ақ үшбұрыш теңсіздігінен
теңсіздігін алуға болады.
Соңғы теңсіздіктің қосындысы (3) теңсіздігін береді. Лемма дәлелденді.
Бұл дәлелденген теңсіздік (1)-(2) есебінің шешімі кесіндісінде жатқандығын білдіреді. Демек осы кеңістіктегі жиынның Колмогоров көлденеңдерін бағалау арқылы Шмид бойынша меншікті мәндердің сипаттамасын алуға болады.
(3) теңсіздігін күшейтейік. Сонда:
(4)
теңсіздігін аламыз. Бұл қатынасты төменде пайдаланатын боламыз.
Мынандай жиындарды қарастырайық:
Осы жиындардың Колмогоров көлденеңдерін сәйкесінше деп белгілейік. Көлденеңдердің жоғарыдағы қасиеттерінің негізінде болатындығын дәлелдеу қиын емес.
Лемма 2. Айталық теорема 2 шарттары орындалсын, онда көлденеңдер үшін келесі баға орынды болады:
(5)
Дәлелдеуі: Айталық, болсын, онда (4) теңсіздіктен
Яғни
қатысы орындалады.
Айталық, болсын, онда
Демек, .
Лемманың әріқарайғы дәлелдемесі көлденеңдердің жоғарыда келтірілген қасиеттерінен шығады. Лемма дәлелденді.
жиынының көлденеңдерін тарату функциясы үшін екіжақты баға алынған. Бұл нәтиже белгілі және мына түрде айтылады.
Лемма 3. Теорема шарттары орындалсын деп ұйғарайық, онда үшін келесі баға орынды:
;
Бұл алынған теңсіздіктен көлденеңдер үшін
(6)
бағалауы орынды болады.
Теореманың дәлелдеуі: қатынасынан және көлденеңдердің қасиеттерін пайдалансақ
(7)
(6) қатынасында (7) теңсіздігін пайдалансақ,
Бұл операторының ядролығын білдіреді. Теорема дәлелденді.
Пайдаланылған әдебиеттер тізімі
1. Муратбеков М.Б., Отелбаев М.О. Гладкость и аппроксимативные свойства решений одного класса нелинейных уравнений типа Шредингера// Известия вузов. -1989.- Т.27, №3. -С.44-47.
2. М.Б.Муратбеков Разделимость и спектр дифференциальных операторов смешанного типа. Тараз, 2006.
3. Мынбаев К.Т, Отелбаев М. Весовые функциональные пространства и спектр дифференциальных операторов. – М.: Наука, 1988. 283 с.
