Математиканың басқа ғылыми пәндермен өзара байланыстарын іске асыру оқушылардың дүниетанымын дұрыс қалыптастыруға, табиғаттың құбылыстары мен процестерінің бірлігін сезінуге ықпал жасайды. Атап айтқанда, олар математикада материалдық әлемнің кеңістік формалары мен сандық қатынастарын бейнелей отырып, математика болмыстың математикалық модельдері туралы ғылым екендігін оқушылардың түсінуіне себептеседі.
«Сан», «фигура», «туынды», «интеграл», «вектор» ұғымдары реалды болмыстың саналуандылығын айқындайды, сондықтан да олар мектептегі басқа пәндердің қолданбалы есептерін шешуде кеңінен қолданылады. Табиғаттың көптеген заңдарын сипаттайтын сизықтық, квадраттық, логарифмдік, көрсеткіштік және т.б. функционалдық тәуелділіктер табиғатта байқалатын заңдылықтардың жалпылауы болып табылады.
Пәнаралық байланыстарды іске асыру барысында табиғат құбылыстарының біртұтастығы мен өзара байланыстарын көрсете отырып, оқушылардың білім мен білігін тереңдетуге қосымша мүмкіндіктер туады.
Мектеп математика оқулықтарында пәнаралық байланыстарды ашуға келтірілген нақты материалдар саны шектеулі, ал қосымша оқу әдебиеттерінен ондай материалды алып, сабақ барысында пайдалана қою - күрделі мәселе. Және де кезкелген дерлік мектеп пәнінің оқу бағдарламасы пәнаралық байланыстарды қосымша анықтау қажет болады.
Математика сабағында оқу тақырыптарын ашуға, оларды бекітуге, есеп шығартуға, республикамыздың экономикалық жетістіктері мен даму стратегиясын, ұлттық ерекшеліктерін, т.б. сипаттаушы материалдарды іріктеп таңдап алуға, оларды мазмұнына кірістіруге студент-болашақ математика пәнінің мұғалімін даярлау қажет. Себебі, мұндай мазмүндағы оқу-әдістемелік құралдар әзерге жоқ есебі
Пәнаралық байланыстарды іске асыру жолдары да жан-жақты. Атап айтсақ:
1) Математикалық ұғымдарды қалыптастыруда сол ұғымның мазмұнын ашу. Сабақтас пәндерде кездесетін ұғымды, мүмкіндігінше, бірмәнді түрде талқылау. Ал бір терминмен аталатын ұғымдардың мазмұндары әртүрлі болып келсе, онда оны оқушыларға (жас ерекшеліктеріне қарай) жете түсіндіру.
2) Математикалық ұғымдарды қалыптастырудағы басқа пәндердің материалдарымен, мәліметтерін қолдану.
3) Пәнаралық есептер және оларға қойылатын талаптар; математикалық модельдеу, абстракция, абстракциялаудың түрлері; т.б. сұрақтарды қарастыру.
4) Математика пәнін оқыту барысында оқушылардың логикалық ой-қабілетін дамыту.
5) Оқытылған материалдың күнделікті өмірдегі және сабақтас пәндердегі практикалық қолданыстарын көрсету.
Аспан, жер, су, тіпті, бізді айнала қоршаған әлемнің бәрінде де геометриялық объектілер толып жатыр. Былайша айтқанда, адам әрқашан да геометриялық әлемнің қоршауында. Салынған сарай - үйлер, жасалған кемелер, көкке ұшқан ұшақтар, күнде көретін ұсақ-түйек заттар - бәрі де геометриялық бейнелер арқылы танылады.
Планиметриядан стереометриялық ауысу кезеңінде оқушылардың санасында кеңістікті сезіну біртіндеп кеңиді. Кеңістікті сезінудегі айқынсыздық, тиянақсыздық оқушыларды X-XI сыныптардағы геометрия курсын толығымен түсінбеуіне әкеліп соғады.
Стереометрия курсының негізгі мақсаттарының бірі - кеңістіктегі қарапайым геометриялық бейнелердің қалыптасқан көріністерін тереңдету және кеңейту болып табылады. Жаңа күрделі ұғымдар иллюстрациялауды қажет етеді. Мысалы: түзу мен жазықтықтың арасындағы бұрыш, айқас түзулердің арасындағы бұрыш және оларға ортақ перпендикуляр, берілген екі жақты бұрыштың сызықтық бұрышы, дөңгелек денелер мен көпжақтар және т.б. Нақты мысал ретінде XI сыныпқа арналған геометрия оқулығындағы шардың анықтамасын қарастырайық: «Шар деп берілген нүктеден берілген қашықтықтан артық қашықтықта жататын кеңістіктің барлық нүктелерінен тұратын денені атайды. Бұл нүкте шардың центрі деп, ал берілген арақашықтық шардың радиусы деп аталады. Шардың шекарасы шардың беті немесе сфера деп аталады». [67, 325]. Бұдан оқушыларға беріліп жатқан ұғымдар турасында нақты түсінік алу қиынға соғуы мүмкін. Ал егер анықтаманы бермей тұрып, оқушыларға темірден құйылған шарды, ағаштан
жасалған шарды, допты, т.т. көрсетіп, ол заттардың әртүрлі қасиеттері бар екендігін еске түсірсек, мысалы, темірден жасалған шар - ток өткізеді, суға батады; ағаштан жасалған шар - ток өткізбейді, суға батпайды, т.т Шарлардың жасалған материалдарының тығыздықтары әртүрлі, түрлері де әртүсті, иістері де әртүрлі, т.т. қасиеттері бар. Бұл заттардың бәріне ортақ бір ғана қасиеті бар - олардың формалары. Енді біз тек сол қасиетті ғана - форманы - еске алсақ - «сфера», «шар» ұғымы шығады - деп, шардың анықтамасын қарапайым тілмен келтірсек, онда, біріншіден, оқулықтағы анықтаманы түсіну қиындыққа соқпайды, екіншіден, ұғымның өмірмен байланысын (абстракциядан пайда болғандығын) көрсетіп кетеміз.
Қабылданған аксиомаларға нақты өмірден мысалдар келтіріп, олардың қолданысын, практикаға қайшылықсыз екендігін көрсетіп отыру қажет. Мектеп стереометрия курсының мына теоремасын (ол негізінде Евклид геометриясының аксиомасы болатыны белгілі) алайық: «Берілген түзуде жатпайтын үш нүкте арқылы жазықтық жүргізуге болады және ол тек біреу ғана болады». Шынында да, үш аяқты орындық әрқашан орнықты тұрады. Ал төрт аяқты орындық болу үшін оның барлық аяқтарының ұзындықтары бірдей болуы қажет. Есік (жазықтықтың моделі) екі топсамен бекітілсе кеңістікте шексіз түрлі жағдайларда орналасады, ал егер оны қосымша бір жерінен тіресек (кілтпен, ілгекпен, таспен, т.т.) онда ол есік тек бір ғана жағдайда орналасады. Жоғарыда аталған аксиоманың іс жүсінде орынды болып отырғанын көреміз.
Тәжірибе көрсеткеніндей, 10-11 сыныптарда көрнекі құралдарды қолдану оқушылардың ойлау қабілетінің жас ерекшеліктерін және жеке-дара ерекшеліктерін айрықша еске алып отыруды қажет етеді: кейбір модельдеге тек сілтеме беруге болады, ал басқа ұғымдарды анықтағанда эскиз немесе суретпен шектелуге болады; кейбір модельдерді тек нақты ойлауы басым болып келетін оқушылардың арнайы тобында ғана қолдануға болады. Кеңістіктегі түзулер мен жазықтықтардың параллельдігін немесе перпендикулярлығын, екіжақты және көпжақты бұрыштарды оқытқанда көрнекі модельдердің аса маңыздылығын мектептегі жұмыс практикасы көрсетіп жүр.
Берілген фигураны дұрыс елестету, сызбаны дұрыс орындау үшін оқушылар алдымен кеңістіктегі фигураларды жазықтықта шартты түрде бейнелеудің негізгі талаптарын білулері қажет. Мұндай ережелер оқушылар үшін жазық емес фигураның сызбасын орындаудың бағыттық негізі болып табылады. Жоғары сынып оқушыларын бұл ережелер және әдістер мен геометриялық фигуралардың дербес түрлерін оқыту барысында бірте-бірте таныстыру керек. Бұл кезде параллель проекциялаудың қасиеттеріне және оқушылардың сызба курсында алған білімдері мен біліктеріне сүйеніп отыру қажет.
Негізінде фигураның параллель проекциясы туралы түсінікті қалыптастыру үшін шуақты күні сол фигураның картоннан немесе сымнан жасалған моделінің көлеңкесін қарастыруға болады. Күннің Жерден өте алыс қашықтықта екенін ескере отырып, Күн сәулелерін жуықтап өзара параллель деуге болады.
Кеңістіктегі фигураның кескінінің көрнекілігі сол фигураның проекциялау жазықтығына және проекциялай бағытына қатысты орналасуына тәуелді екені белгілі.
Үшбұрыштың моделінің көлеңкесін бақылай отырып, проекциялау жазықтығына қарағанда түп нұсқаның әртүрлі орналасуы арқылы берілген үшбұрыштың проекциясы кезкелген формадағы үшбұрыш (тіпті кесінді) болуы мүмкін деген ұйғарымға келеміз.
Кеңістіктегі түзулер мен жазықтықтардың параллельдігін және перпендикулярлығын, екіжақты және көпжақты бұрыштарды оқытқанда картоннан, органикалык шыныдан жасалған көрнекі модельдерді қолдану маңызды.
Жоғары сыныптарда геометрияны оқутыдан бастап көпжақтар ұғымы енгізіледі (параллелепипед, призма, пирамида, дұрыс көпжақтар). Бұл бірінші жағынан, параллельдік пен перпендикулярлықтың қасиеттерін көпжақтар негізінде көрсетуге мүмкіндік береді, екінші жағынан, оқушылардың геометриялық шамаларды, қалыптастыруға мүмкіндік жасайды.
Геометриялық денелердің көлемін табуды қарастырғанда, егер дене геометриялық формасых болса, онда көлемін
табу есебі математикалық әдіспен шешілмейді, ал физикада мензурканың көмегімен Архимед заңына сүйеніп шығаруға болады.
10-11 сынып оқушылары есептің шарты бойынша «пирамида берілді» десе үшбұрышты немесе төртбұрышты пирамиданы сызады, себебі пирамиданың бұл екі түрі стандартты сызбаларда жиірек кездеседі. Сондықтан әртүрлі дұрыс және емес, табан қабырғаларының саны әртүрлі болатын көпжақтарды бейнелеуді мұғалім өз практикасына еңгізсе, бұл кеңістіктегі фигура туралы абстрактілі ұғымды дұрыс қалыптастыру ықпал етеді.
Айналамыздағы бізді қоршап тұрған нәрселер геометриялық денелер туралы түсінік береді. Мысалы, кристалдар - көпбұрыштардан тұратын геометриялық денелердің пішінін береді. Ондай беттерді көпжақтар дейді.
Табиғи көпжақтар табиғаттағы геометрияның бір айқын көрінісі. Кристалл - қырлы біртекті қатты дене. Гректің «кристаллос» сөзі «мұз» деген ұғымды білдіреді. Бірақ бұл сөз тек қатқан мұздың кристалдарына ғана тән емес. Барлық тас, тау жыныстарыны көбі кристалдан тұрады. Металл рудалары, осы рудадан балқытып алынған металдың өзі, тұз, қант және айналамыздағы басқа да толып жатқан нәрселердің көбі кристалды заттар. Кристалдардың ішіндегі ең әдемісі - асыл тастар.
Кристалдардың ерекше қасиеті бар, мұның өзі олардың қандай атомдардан тұратындығына байланысты. Кристалдардың ішкі әлемін рентген сәулесі арқылы зерттеуге болады. Сонда, кристалдағы әрбір атом іргелес атомдардың нақты бір санымен байланысты болады және олар сонымен қосы белгілі ретпен орналасады екен. Әрбір кристалл формасы болады.
Кейбір заттардың бір емес, екі, үш, тіпті одан да көп кристалдық форма түзетіні кездеседі. Әрине, олардың бәрі де белгілі бір нақты тәртіппен орналасады. Мәселен, көміртегі осындай. Атомдардың орналасуына қарай, ол не алмасқа - жер бетіндегі ең әдемі, ең мөлдір, ең қатты тасқа, не кәдімгі қарындаштағы қара сұр түсті жұмсақ графитке айналады
Кристалдардың басқа да қасиеттері бар. Кристалдың ұзыны мен көлденеңінен жылу біркелкі өтпейді. Кыздырған кезде ол әр бағытта, әр түрлі ұлғаяды.
Көпжақтардың көптеген формаларын (тау хрусталі, алмаз. гранит, т.б.) кристалдар түрінде табиғат өзі жаратқан (28-сурет).
Табиғи кристалдардың арасында тетраэдрдың, октаэдрдың, кубтың, додекаэдрдың формалары айқындалған.
Кристалдардан көптеген қажетті заттар жасайды. Қазіргі кезде дұрыс көпжақтардың формалары архитектурада, тұрмыстық заттарда да кеңінен қолданылады. Мәселен, жартылай өткізгіш кристалдар радиотехникада қолданылады. Сағат тасы да - кристалл. Кристалдың бұдан басқа да қолданылатын жері өте көп.
Мысалы: Пифагор теоремасы
Ұзындығы 5 м болатын баспалдақ үйдің жанынан салынған, баспалдақтың көлеңкесінің ұзындығы жерден баспалдаққа дейінгі ара қашықтықтан 1 м-ге кем. Баспалдақтың проекциясының ұзындығын есептеңіз.
Шешуі: Айталық, х-жерден баспалдыққа дейінгі ара қашықтық болса, онда проекциясының ұзындығы х-1 м. Суретте көрсетілгендей баспалдақтың орналасуынан тік бұрышты үшбұрышты көруге болады. Пифагор теоремасын қолдану арқылы есептейміз:
(x+3)(x-4)=0
Теңдеудің түбірі (-3) шешімі бола алмайды, себебі, теріс сан ұзындық өлшемі бола алмайды, ал x=4 – жерден баспалдақтың ұшына дейінгі ара қашықтықты береді. Ал баспалдақ проекциясының ұзындығы 3 м болады.
Қорытынды
Математика ғылым ретінде әу баста есептен пайда болған және есеп арқылы дамиды. Мектеп математикасын оқытуды есепсіз құру мүмкін емес. Математикалық есептер оқушылардың ұғымдарды, теорияны және математика әдістерін меңгерудің тиімді де, айыр-басталмайтын құралы болып табылады.
