1) түрінде берілген квадрат үш мүшені
түрінде өзгертуге болады. Осындай операциялар көмегімен квадрат үш мүшесін алуға бола ма?
түрінде берілсе онда оның дискриминаты D= 1-ші операциядан кейін
+A функциясы шығады. Осы функцияның дискриминатын табайық:
Квадрат үшмүшені екінші функция бойынша жіктейміз:
D= екі функцияның дискриминаттары тең болды, олай болса
=0 теңдеуінің дискриминатын табамыз:
D=;
=0 теңдеуінің дискриминатын табамыз:
D=;
4 болуына байланысты бірінші квадрат үшмүшеден екінші квадрат үшмүшені алуға болмайды.
2) = түріндегі барлық түріндегі жай сандарды тап.
Шешуі: деп белгілейік, сонда
1-ші тәсіл: 1-ші теңдеуден 2-ші теңдеуді азайтсақ:
қатар тұрған үш санның көбейтіндісі 3-ке бөлінеді, жай сандардың ішіндегі 3-ке бөлінетін саны 3 болғандықтан бұл n=2болғанда ғана орындалады.
2-ші тәсіл: 1-ші теңдеумен 2-ші теңдеуді қоссақ:
n=2 мәнін қойсақ . Жауабы:
3) Үшбұрыштың қабырғаларының ұзындықтары қанағаттандыратын болса үшбұрыштың мәні орташа болатын бұрыштың мәнін тап.
Шешуі: бөлшегінің екі бөлігін де (a+b+c)-ға көбейтеміз:
косинустар теоремасы бойынша
Сонда, Жауабы:
4) +c квадрат үшмүшенің түбірлері және болса, онда болатынын дәлелде.
Шешуі: белгілеп алсақ, онда , себебі
Екінші жағынан:
1=
=1
5) теңдеуін шеш.
Шешуі: , теңдіктің екі бөлігіне 1 санын қосып теңдеуді түрлендіреміз
(x-1)(y-1)=1 (x-1)(y-1)=(-1)
Жауабы: (2;6);(0;-4)
(6; 2);(-4;0)
6) Футбол турнирінде 7 команда қатысты. Олар 14, 13, 9, 8, 7, 4 және 3 ұпай жинады. Ұтыс үшін 3 ұпай, тең ойынға 1 ұпай, ұтылғаны үшін 0 ұпай берілсе онда неше ойын тең аяқталды?
Шешуі: Барлығы ойын болады.
Егерде ойын бір команданың жеңісі менен аяқталатын болса, онда ұпай болады. Командалардың ұпайларын қосқанда 14+13+9+8+7+4+3=58 ұпай. Онда 63-58=5 ойын тең аяқталды.
Жауабы: тең аяқталды
7) бөлшегін қысқарт.
Шешуі: белгілеу енгіземіз,
.
8) x-тің мәндерін тап.
arcsinx
arcsinx=y +
arcsinx= arcsinx=
x= Жауабы:
9) -тақ функция, -жұп функция.
Шешуі: Функцияның жұп, тақ екендігін анықтаймыз
-тақ функция , жұп функция болғандықтан болады.
10) Белгілі бір бағымшының фермасында жайылым мөлшерін мөлшерлеу үшін екі бірдей аудандағы жайылымға мал бағу тәжірибесі өткізілді. Жайылым шөбі әр күні бірдей жылдамдықпен өседі. Бір жайылымға бағылған 24 сиыр 6 күнде жайылым шөбін тауысады. Енді бір жайылымға 21 сиыр бағылып 8 күнде жайылым шөбін жеп тауысады. Әр сиырдың шөп жеу мөлшері тең делік.
1. Жайылым мәңгі жеп тауысылмау үшін ең кем дегенде қанша сиыр бағу керек?
2. Егер 14 сиыр бағылса бұл жайылымға неше күн бағуға болады?
Шешуі: Жайылымның азаю жылдамдығы:
Жайылымның өсу жылдамдығы:
=
8
Мәңгі 12 сиырға жетеді.
Жауабы: 12 сиыр; 36 күн
11)
x+ xy + y + yz + z + zx =
Коши Буняковский теңсіздігін пайдаланып
x+y+z
xy + yz + xz
12) Қосындыcы 2-ге тең оң нақты x, y, z сандары үшін теңсіздігін дәлелдеңдер.
Шешуі:
